Pièce truquée ? (3)

Hector : Pas la moindre idée, mais essayons d'être rusés. Si tu lances une fois la pièce, tu auras \(2\) chemins sur ton arbre ; pour chacun, si tu relances la pièce, tu obtiens \(2\) nouveaux chemins ; autrement dit tu auras \(2\times 2=2^2 =4\) chemins sur ton arbre. Pour chacun de ces quatre chemins, tu auras encore \(2\) nouveaux chemins, donc tu auras  \(4\times 2=2^2\times 2=2^3=8\) chemins. Et ainsi de suite, donc on a : 

• \(1\) lancer donne \(2^1=2\) chemins
  
• \(2\) lancers donnent \(2^2=4\) chemins
  
• \(3\) lancers donnent \(2^3=8\) chemins
  
• ...
  
• \(20\) lancers donnent \(2^{20}=1\; 048\;576\) chemins
  

Amina, si tu veux tracer cet arbre commence maintenant et je te revoie dans \(3\) ou \(4\) ans !

Amina : Très bien, je pense qu'il vaut mieux utiliser le truc que l'on a entre nos oreilles.
Hector : Quoi ?
Amina : Je parle de ton cerveau !
Hector : Bon, réfléchissons, si on obtient \(19\) fois pile et \(1\) fois face, ça veut dire que l'on peut obtenir face en premier, ou en deuxième ou en troisième, etc., donc en réalité sur notre arbre géant imaginaire, on aurait \(20\) chemins qui mèneraient à \(1\) unique face.
Amina : Tout à fait d'accord et en plus, sur chacun de ces chemins, il y aurait \(19\) branches menant à pile donc on aurait pour cette partie du chemin une probabilité de \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{19}\) et une branche menant à face, donc cette partie-là aurait une probabilité de \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}\). Finalement, chacun des chemins aurait une probabilité de \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{19}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}\).
Hector : Carrément, et du coup si on prend en compte les \(20\) chemins, la probabilité d'obtenir une unique fois face sur \(20\) lancers serait de :
 \(\begin{align*} 20\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{19}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}& =\dfrac{5}{262~144} \approx0{,}000019\end{align*}\)
OK je pense que l'on peut admettre que cette pièce est fausse.
Amina : Hum.... en effet. Une question me vient en tête : et si tu avais obtenu \(15\) fois pile sur \(20\) lancers, comment aurait-on trouvé la probabilité ? Autant calculer la probabilité d'un chemin de notre arbre géant imaginaire contenant \(15\) piles et \(5\) faces, c'est facile, on aurait juste \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{15}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}\) mais calculer le nombre de chemins, là je ne sais pas et toi ?

Hector : Cela me semble en effet plus compliqué, mais pas impossible, juste très pénible... Il y aurait beaucoup de cas possibles. Par exemple, je pourrais commencer par considérer que j'ai \(4\) faces lors des quatre premiers lancers, j'aurais donc \(16\) possibilités pour avoir un cinquième lancer qui donne face.
Amina : Donc une fois que tu as choisi la place pour tes quatre premiers tirage tu auras toujours \(16\) possibilités pour les autres. Donc la question est de combien de façons je peux avoir \(4\) lancers face sur \(19\) lancers, et ainsi de suite...

Question Essayer d'arriver au bout du raisonnement d'Amina.